[선형대수학] 📂. 벡터(Vector)

1. 벡터(Vector)

1.1 공학과 수학에서의 벡터 : n-공간

1. 스칼라(scalar) : 크기만 주어지지만 완전히 표시되는 양
2. 벡터(vector) : 크기뿐만 아니라 방향까지 지정하지 않으면 완전히 표현할 수 없는 양
   - 2차원, 3차원 공간의 벡터는 화살표로 표현 가능하다.
   - 시작점과 끝점이 같아 크기가 0인 벡터를 영벡터라 한다.
   - 벡터는 크기와 방향이 같으면 시작점에 관계없이 항상 동일한 벡터로 간주한다.
   - 모든 벡터는 점의 좌표를 이용하여 나타낼 수 있다.

• 덧셈, 뺄셈

  • $x+y$는 $x, y$에 의하여 결정되는 평행사변형의 대각선으로 표시되는 벡터이다.
    

• 스칼라배

  • $k>0$이면, $x$와 방향이 같으면서 길이는 $k$배하여 얻어지는 벡터.
  • $k<0$이면, $x$와 방향이 반대면서 길이는 $\lvert k \rvert$배하여 얻어지는 백터.
  • $\mathrm{x}=k\mathrm{y}$이면, $\mathrm{x}$와 $\mathrm{y}$는 평행하다.

• n차원 벡터

  $n$개의 실수의 순서조$(x_1, x_2, \dots, x_n)$을 n차원 벡터(n-demensional vector)라 하고
  \(\mathrm{x}=(x_1, x_2, \dots, x_n)=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}_{n\times1}\)
  로 나타낸다. 이때 실수 $x_1, x_2, \dots, x_n$을 $x$의 성분이라 한다.

• 상등

  $\mathbb{R}^n$의 벡터
  \(\mathrm{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},\mathrm{y}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}\) 에 대하여 $x_i=y_i$ $(i=1,2, \dots, n)$이면, $x=y$라고 한다.

  • $(1)\mathrm{x}\pm\mathrm{y}=\begin{bmatrix}x_1\pm y_1 \\ x_2\pm y_2 \\ \vdots \\ x_n\pm y_n\end{bmatrix}(2)k\mathrm{x}=\begin{bmatrix}kx_1 \\ kx_2 \\ \vdots \ kx_n\end{bmatrix}$

• 일차결합

  $v_1, v_2, \dots, v_k$가 $\mathbb{R}^n$의 벡터이고, 계수 $c_1, c_2, \dots, c_k$가 실수일 때,
  \(\mathrm{x}=c_1v_1+c_2v_2+ \dots + c_kv_k\)
  인 형태를 $v1,v2,\dots,v_k$의 일차결합(linear combination)이라 한다.

1.2 내적과 직교

• 노름

  $\mathbb{R}^n$의 벡터 $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$에 대하여
  \(\|\mathrm{x}\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+ \dots + x_n^2}\)
  을 $x$의 노름(norm, length magnitude)이라 한다.

  • 원점에서 점 $P(x_1, x_2, \dots, x_n)$에 이르는 거리이다.
  • 두 벡터의 거리
    \(\|\mathrm{x}-\mathrm{y}\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2}\)
  • 단위벡터(unit vector)
    \(\|\mathrm{x}\|=1, \; \mathrm{u}=\frac{1}{\|\mathrm{x}\|}\mathrm{x}\)

• 내적

  $\mathbb{R}^n$의 벡터 $\mathrm{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)$와 $\mathrm{y}=(y_1,y_2,\dots,y_n)$에 대하여,
  \(\mathrm{x}\cdot\mathrm{y}=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n\)
  \(\mathrm{x}\cdot\mathrm{y}=\|\mathrm{x}\|\|\mathrm{x}\|\cos{\theta},\;0\le\theta\le\pi\)
  내적(Euclidean inner product, dot product)이라 한다.

  • $\mathrm{x}\cdot\mathrm{x}=|\mathrm{x}|^2$
  • $\mathrm{x}\cdot\mathrm{x}\ge0,\; \mathrm{x}\cdot\mathrm{x}=0\Leftrightarrow \mathrm{x}=0$
  • $\mathrm{x}\cdot\mathrm{y} = \mathrm{y}\cdot\mathrm{x}$
  • $(\mathrm{x}+\mathrm{y})\cdot\mathrm{z}=\mathrm{x}\cdot\mathrm{z}+\mathrm{y}\cdot\mathrm{z}$
  • $(k\mathrm{x})\cdot\mathrm{y}=\mathrm{x}\cdot(k\mathrm{y})=k(\mathrm{x}\cdot\mathrm{y})$
  • $\mathrm{x}\cdot\mathrm{y}=0$이면, $\mathrm{x}$와 $\mathrm{y}$는 직교한다. (직교벡터)

• 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz Inequality)

  $\mathbb{R}^n$의 임의의 벡터 $\mathrm{x}$ $\mathrm{y}$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
  \(|\mathrm{x}\cdot\mathrm{y}|\le\|\mathrm{x}\|\|\mathrm{y}\|\)
  단, 등호는 $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$ 중 하나가 다른 것의 실수배일 때만 성립한다.

  • 증명

    • 삼각부등식
      \(\|\mathrm{x}+\mathrm{y}\|\le\|\mathrm{x}\|\|\mathrm{y}\|\)
    • 단, 등호는 $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$ 중 하나가 다른 것의 $k\ge0$배일 때만 성립한다.

• 정규직교(orthonormal)벡터

  $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$가 서로 직교벡터이면서 단위벡터인 벡터

• 기본단위벡터(standard unit vector, 표준단위벡터)

  \[\mathrm{e}_1=(1,0,0,\dots,0),\mathrm{e}_2=(0,1,0,\dots,0),\dots,\mathrm{e}_n=(0,0,0,\dots,1)\]